Implementieren Sie eine Funktion, die in einem zweidimensionalen Zahlenfeld, das Maximum aller dieser Zahlen findet.

Achten Sie (je nach Programmiersprache) auf Grenzfälle. Zum Beispiel eine leere Matrix, asymmetrische Felder oder ähnliches.

Die ganzzahlige Collatz-Folge ist wie folgt definiert:

Es handelt sich um ganzzahlige Division.

Wenn man die Funktion mehrfach auf sich selbst anwendet, dann erhält man wieder eine neue Folge: .

Eine bis heute unbewiesene Vermutung ist, dass jede dieser Folgen letztendlich in der immer wiederkehrenden Folge der Zahlen 1,4,2 endet.

Implementieren Sie ein Programm, welche diese Vermutung für jede Folge bis zu einer Obergrenze überprüft.

Gegeben Sei eine BCD codierte ganze positive Zahl. Sie soll in Binärdarstellung umgewandelt werden.

Bei BCD (binary coded decimal) codierte Zahlen werden die Dezimalziffern jeweils mit 4 Bits codiert (0000 bis 1001). Die restlichen Bitkombinationen bleiben ungenutzt. Wir betrachten nur 16 Bit-Wortbreite.

Die BCD-Codierung der Dezimalzahl 532  ist 0000 0101 0011 0001

Implementieren Sie ein Programm, welches ganze Zahlen im BCD Format in Binärdarstellung konvertiert.

Geben Sie nach Möglichkeit genau einen arithmetischen Ausdruck an, der eine BCD Zahl in Binärdarstellung überführt.

Die alternierende Harmonische Reihe ist wie folgt definiert:

Diese Reihe konvergiert.

Implementieren Sie die Reihe und berechnen Sie den Grenzwert. Ihre Implementierung muss abbrechen, wenn der Grenzwert gefunden worden ist.

Gegeben sei folgende rekursive definierte Folge:

Diese Folge konvergiert gegen die Quadratwurzel von 2. Die Folge ist ein Beispiel für ein allgemeines Halbierungsverfahren zur Bestimmung der Quadratwurzel einer Zahl.

Implementieren Sie jeweils eine rekursive und nicht rekursive Methode, um den Wert der Folge näherungsweise zu berechnen.

Die mit polyalphabetischer Verschlüsselung kodierten Texte (bei Verwendung eines Alphabets) lassen sich meist sehr einfach über die Häufigkeitsverteilung der Buchstaben in Texten entschlüsseln.

Texte in deutscher Sprache haben etwa folgende Verteilung (nach deutscher Wikipedia) als double-Feld. Umlaute sind als ae, ue, oe gezählt:

double [] haeufigkeiten = new double[256];

        haeufigkeiten['a'] = 0.0651;
        haeufigkeiten['b'] = 0.0189;
        haeufigkeiten['c'] = 0.0306;
        haeufigkeiten['d'] = 0.0508;
        haeufigkeiten['e'] = 0.1740;
        haeufigkeiten['f'] = 0.0166;
        haeufigkeiten['g'] = 0.0301;
        haeufigkeiten['h'] = 0.0476;
        haeufigkeiten['i'] = 0.0755;
        haeufigkeiten['j'] = 0.0027;
        haeufigkeiten['k'] = 0.0121;
        haeufigkeiten['l'] = 0.0344;
        haeufigkeiten['n'] = 0.0253;
        haeufigkeiten['m'] = 0.0978;
        haeufigkeiten['o'] = 0.0251;
        haeufigkeiten['p'] = 0.0079;
        haeufigkeiten['q'] = 0.0002;
        haeufigkeiten['r'] = 0.0700;
        haeufigkeiten['s'] = 0.0727;
        haeufigkeiten['t'] = 0.0615;
        haeufigkeiten['u'] = 0.0435;
        haeufigkeiten['v'] = 0.0067;
        haeufigkeiten['w'] = 0.0189;
        haeufigkeiten['x'] = 0.0003;
        haeufigkeiten['y'] = 0.0004;
        haeufigkeiten['z'] = 0.0113;
        haeufigkeiten['ß'] = 0.0031;

Implementieren Sie ein Programm, welches mit Hilfe dieser Verteilung einen verschlüsselten Text entschlüsselt: die Zeichen im verschlüsselten Text werden gezählt und dann mit den am besten passenden Buchstaben obiger Verteilung ersetzt. Der verschlüsselte Text sollte möglichst lang sein (mehr als 1000 Zeichen).

Man kann den Algorithmus noch verbessern, indem die Buchstabenhäufigkeit von Anfangs- und Endbuchstabe mit berücksichtigt wird oder ein Wörterbuch verwendet wird.

Eine sehr einfache Verschlüsselungsmethode ist die polyalphabetische Verschlüsselung: jedem Buchstaben des Alphabets wird genau ein anderer Buchstabe des Alphabets zugeordnet. Die Zuordnung muss bijektiv sein.

Man betrachte z.B. die Verschlüsselung, bei der jeder Buchstabe des lateinischen Alphabets (ohne Umlaute oder ß) durch den vorherigen Buchstaben ersetzt wird:
b -> a, c -> b, …, z -> y, a -> z

Aus IBM wird dann HAL.

Implementieren Sie ein Programm, das eine Zeichenkette polyalphabetisch verschlüsselt. Die Zuordnung soll als char-Feld gegeben sein. Groß- und Kleinschreibung soll ignoriert werden.

Geldbeträge werden in fast allen betrieblichen Anwendungen benötigt (Preise, Kosten, …). Oft wird der Geldbetrag mit einer Gleitkommazahl realisiert: 120,95 Euro. Da im Gleitkommaformat Nachkommastellen im Binärformat repräsentiert werden, treten dabei Ungenauigkeiten auf.

Ein bessere Lösung ist es, Geldbeträge als ganze Zahlen darzustellen: 12095 Cents. Um Rechenungenauigkeiten zu reduzieren, sollten hundertstel Cents kodiert werden (Banken rechnen oft mit 4 Nachkommastellen): 1209500 hundertstel Cents.

Zum Rechnen werden die üblichen Operatoren benötigt. Bei Ergebnissen muss aber kaufmännisch auf die 4. Nachkommastelle gerundet werden.

Es ist deswegen sinnvoll pro Geldbetrag ein eigenes Objekt zu haben, welches die üblichen Rechenoperatoren implementiert.

Entwerfen und implementieren Sie eine Klasse Geld, mit dem derartige Geldbeträge behandelt werden können.

Gegeben sei folgende geometrische Reihe (die Summe der Kehrwerte aller 2er-Potenzen):

Implementieren Sie ein Programm, mit dem Sie überprüfen, ob diese Reihe – vermutlich – konvergiert. Falls die Reihe konvergent ist: gegen welchen Wert konvergiert sie?

Schreiben Sie ein Programm, das 6 zufällige Zahlen aus dem Bereich 1 bis 49 auf dem Bildschirm ausgibt (Lotto 6 aus 49). Es dürfen dabei keine Zahlen doppelt vorkommen.

Die Harmonische Reihe h(n) ist die Summe der Kehrwerte von 1 bis n (wobei n gegeben unendlich strebt).

Implementieren Sie diese Funktion (bis zur Obergrenze n). Zeichnen Sie den Funktionsverlauf für diese Funktion. Welchen Wert berechnet diese Funktion ungefähr (Angabe im O-Kalkül)?

Bei Algorithmen, die nach dem Teile-und-Beherrsche-Prinzip vorgehen oder bei Halbierungsverfahren, muss meist die Mitte eines Bereichs (eines Felds) berechnet werden. Der Bereich ist oft durch seine linke untere und rechte obere Grenze definiert. Dies sieht dann meist so aus:

int mitte = (links + rechts) / 2;

Diese Berechnung funktioniert in Java und anderen Programmiersprachen nicht immer. Was passiert, wenn die rechte Grenze sehr gross wird und der Bereich sich sehr weit rechts befindet? Wie muß die Mitte in Java berechnet werden, damit in jedem Fall das Ergebnis der Berechnung stimmt?

Dieser Fehler findet sich häufig in Lehrbüchern aber auch in Programmbibliotheken. In der Java-Version 1.6 wird in der Klasse Arrays die Mitte für die Binärsuche wie folgt berechnet (dabei ist aus Geschwindigkeitsgründen die Division durch 2 durch einen Rechts-Shift ersetzt):

int mid = (low + high) >>> 1;

In Programmiersprachen existieren üblicherweise Verschiebeoperatoren, die bei ganzen Zahlen die Bits um eine oder mehrere Positionen nach links oder rechts verschieben. In Java sind das die zweistelligen Operatoren >>, <<, >>>. Der linke Operator gibt die Zahl an, deren Binärstellen verschoben werden und der rechte, um wie viele Stellen sie verschoben werden. Bei << und >> wird eine Null nachgeführt.

Implementieren Sie analoge Operatoren (als Funktionen) zum Verschieben der Dezimalstellen wie << und >>.

Beispiel: 123765 >> 2 soll 1237 ergeben, 123765 << 3 soll 765000 ergeben.

Implementieren Sie zwei weiteren Varianten zyklisch, so dass die „herausgeschobene“ Dezimalstelle vorne (oder hinten) wieder hineingeschoben wird.

Beispiel: 123765 >> 2 soll 651237 ergeben, 123765 << 3 soll 765123 ergeben.

Sie können die letzteren Operatoren zur Berechnung zyklischer Zahlen verwenden.

Wir betrachten folgendes Geduldsspiel:

Das Spielbrett enthält 8 rote und 8 grüne Steine. Ein Feld in der Mitte ist frei.

Ziel des Spiels ist es die grünen und roten Steine auszutauschen.

Folgende horizontalen und vertikalen Züge sind dabei möglich:

• Ein zum leeren Feld angrenzender Stein darf in das leere Feld verschoben werden.
• Ein Stein darf über einen anderen Stein (egal welche Farbe) in das leere Feld springen.

Hier drei gültige aufeinanderfolgende Spielzüge:

Implementieren Sie ein Programm mit rekursivem Backtracking, das eine Lösung für dieses Problem findet. Beachten Sie, das ein Hin- und Herschieben von Steinen zu unendlichen Zugfolgen führt. Dies kann durch beschränkte Tiefensuche gelöst werden: Bei 50 Zügen wird die Suche abgebrochen (es gibt Lösungen mit weniger Zügen).

Das Spiel habe ich hier gefunden. Dort kann man es mit einem JavaScript-Programm spielen. Den Ursprung des Spiels habe ich leider nicht herausgefunden.

Gegeben sei eine endliche Folge von double-Werten, deren Anzahl nicht bekannt ist. Man stelle sich vor, diese Zahlen werden sequentiel von einem Benutzer online eingegeben.

Algorithmen, die derartige Daten sequentiell verarbeiten, ohne alle Werte zwischenzuspeichern, nennt man Online-Algorithmen

Implementieren Sie einen Online-Algorithmus, der den Durchschnitt (das arithmetische Mittel) der eingegebenen Werte berechnet. Ihr Algorithmus darf höchstens konstanten Speicherverbrauch haben.

Verwenden Sie Eingabe.java zum Einlesen von double Wert: Eingabe.readDouble().